Az időben állandó mágneses mező

 

Mágneses alapjelenségek, a mágneses mező leírása

     Az elektromos térhez hasonlóan a mágneses teret is hatásai alapján figyelhetjük meg. Kísérletek során azt tapasztalhatjuk ugyanis, hogy két, egymással párhuzamos vékony áramjárta vezető között erőhatás lép fel, illetve, hogy egy lazán felfüggesztett, áramjárta vékony egyenes tekercs mindig ugyanazon észak-déli irányba áll be, csakúgy, mint egy iránytű, vagyis meghatározott helyzeteiben nyilvánvalóan nyomaték hat rá.
     A párhuzamos áramjárta vezetők kölcsönhatását egy olyan újfajta mező segítségével írhatjuk le, amelyet mozgó töltések keltenek, és amely erőt csak mozgó töltésekre fejt ki. Miután az áramok a közelükben levő iránytűkre, mágneses anyagokra erőt, illetve nyomatékot fejtenek ki, nyilvánvalónak tűnik, hogy az áramjárta vezetők körül kialakuló mező ugyanolyan eredetű, mint a mágnesek körül kialakuló, ezért az áramok közötti előbb tapasztalt kölcsönhatást mágneses kölcsönhatásnak nevezzük.
     Az olyan mezőt, amelyet mozgó töltések keltenek, és amely csak mozgó töltésekre fejt ki erőt, mágneses mezőnek nevezzük. A mező tulajdonságainak számszerű leírásához, ugyanúgy, ahogyan azt az elektrosztatikus mezőnél is tettük, egy alkalmas próbatestet választunk, és a mező egyes pontjaiban vizsgáljuk a mezőnek arra gyakorolt hatását. A kísérletek kapcsán említett iránytűt helyettesítsük kisméretű körárammal, mert ennek tulajdonságait (a benne folyó áram erősségét, irányát, a körvezető méreteit) változtatni tudjuk. Ezt a mágneses próbatestet magnetométernek nevezzük. Ha ez a körvezető, vagy akár lapos tekercs eléggé kis méretű, akkor jó közelítéssel alkalmas a mágneses mező pontjainak, illetve a pontok elegendően kis környezetének jellemzésére.
     Ha ezt a minden irányban könnyen elforduló magnetométert a mágneses mező különböző pontjaiba helyezzük, a következőket figyelhetjük meg:
     - A mágneses mező a magnetométerre forgatónyomatékot fejt ki, és ezen nyomaték nagysága függ a magnetométer helyétől és síkjának helyzetétől (irányától) is.
     - A mező tetszőleges pontjában megfigyelhető egy és csak egy olyan irány, amelybe a magnetométer tengelye beáll, akár az iránytű, és az ilyen helyzetű magnetométer egyensúlyban van, vagyis nem hat rá forgatónyomaték.
     - Ha az előbb leírt egyensúlyi helyzetben levő magnetométer áramának irányát megfordítjuk, akkor annak síkja ellentétes irányba fordul át.

Keretre ható nyomaték

A mező adott pontjában mérhető maximális forgatónyomaték tehát az egyensúlyi helyzetéből merőlegesen elforgatott helyzetekben hat a magnetométerre. Ez, a mező adott pontjában mérhető maximális forgatónyomaték egyenesen arányos a magnetométer áramának erősségével, a vezetéke által körülhatárolt területtel és független a magnetométer vezetőkeretének alakjától:

.

     Az összefüggésben szereplő, a próbatestre jellemző mennyiséget a magnetométer mágneses nyomatékának, a mező pontjait jellemző B mennyiséget pedig a mező adott pontbeli mágneses indukciójának nevezzük.

Az előbbiek szerint a mágneses nyomaték mértékegysége az , a mágneses indukcióé pedig a , más néven Tesla, melynek rövid jelölése T.

A mágneses mező indukciójának nagysága tehát a mérőkeretre ható maximális forgatónyomatéknak és a mérőkeret mágneses nyomatékának hányadosa.
     A kísérletünkben tapasztaltaknak megfelelően a mágneses indukciót vektorként definiáljuk, és a mező adott pontjában hatásvonala legyen az oda helyezett és egyensúlyi helyzetben lévő magnetométer tengelyével párhuzamos, és a vektor mutasson abba az irányba, amerről visszatekintve a magnetométer áramiránya a pozitív, vagyis az óramutató járásával ellentétes forgásiránnyal megegyező.
     Természetesen a mágneses mező által kifejtett forgatónyomatékot felírhatjuk abban az általános esetben is, amikor a mérőkeret síkja nem párhuzamos az indukcióvonalakkal. Ehhez bontsuk fel a mezőt a köráram tengelyével párhuzamos és arra merőleges indukciójú mezők összegére! Mivel a köráram tengelyével párhuzamos indukciójú mező nem fejt ki nyomatékot, a tengelyre merőleges pedig a maximális forgatónyomatékot fejti ki, az indukcióvektor merőleges összetevőjének kifejezése után a magnetométerre ható nyomaték:

,

ahol az indukcióvektornak a magnetométer tengelyével bezárt szöge.

 

A mágneses mező szemléltetése: mágneses indukcióvonalak és fluxus

     Ha a mágneses mező szemléltetésére az elektromos térhez hasonlóan most a mágneses indukció vektorait pontról pontra ábrázoljuk, azt tapasztaljuk, hogy a mezőben olyan folytonos görbék húzhatók, amelyeknek érintői éppen a mágneses tér érintési ponthoz tartozó indukció vektorai. Azokat a vonalakat, amelyeknek érintői az érintési pontbeli mágneses indukció vektorának tartóegyenesei, a mágneses mező indukcióvonalainak nevezzük.
     Amennyiben a mágneses mező egy meghatározott pontjában az indukció nagyságát is szemléltetni szeretnénk, az elektromos térnél elmondottakhoz hasonlóan állapodjunk meg abban, hogy adott felületen át csak véges számú erővonalat rajzolunk meg, pontosan annyit, hogy az indukcióvonalak sűrűsége, vagyis a rájuk merőleges felület egységnyi területén áthaladó indukcióvonalainak száma megegyezzen az ottani indukció mérőszámával. A tapasztalat szerint ehhez az indukcióvonalakat sehol sem kell megszakítani. Az A területű felületen merőlegesen áthaladó indukcióvonalszámot mágneses fluxusnak vagy indukciófluxusnak, röviden egyszerűen csak fluxusnak nevezzük és -vel jelöljük. Definíciónk szerint tehát homogén mágneses mezőben

.

Az indukciófluxus mértékegysége a definíció alapján a Vs=Wb (weber).

Mágneses fluxus

     Inhomogén mezőben, tehát amikor az indukció vektorai a tér tetszőleges pontjaiban nem párhuzamosak és egyenlőek, az A felületen áthaladó mágneses fluxust a

összefüggéssel határozhatjuk meg, ahol a felület megfelelően kicsiny területű darabjának érintősíkjára merőleges indukciókomponensnek az előjeles nagysága. Pozitív az értéke akkor, ha az irányított terület határgörbéjével a vektor jobbsodrású rendszert alkot.

 

A mágneses forráserősség, Maxwell III. törvénye

     Az előbbiekben említettük, hogy a mágneses mező zárt indukcióvonal szerkezetű. Ezt a tényt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a mágneses mező forrásmentes, vagyis nincsenek "mágneses töltések", amelyekből az indukcióvonalak kiindulnának. Eszerint bármely térfogat mágneses forráserőssége nulla, vagyis bármely zárt felületen áthaladó teljes mágneses fluxus zérus:

,

ahol V valamely zárt felülettel határolt térrész jelent.
     Ezt az összefüggést szoktuk Maxwell III. törvényének nevezni. A törvényt szemléletesen úgy fogalmazhatjuk meg, hogy ha bármilyen alakú zárt felületből indukcióvonalak lépnek ki, akkor ugyanannyi indukcióvonalnak be is kell lépnie ezen felületen át a határolt térrész belsejébe. Ez a törvény tehát szemléletesen mutatja, hogy a mágneses mező szerkezete alapvetően eltér az elektrosztatikus mező szerkezetétől.

 

A mágneses örvényerősség. A gerjesztési törvény, Maxwell IV. törvénye

     Ha különböző alakú vezetőkeretekben folyó különböző erősségű áramok által keltett mágneses mező indukcióvonalait ábrázoljuk, azt tapasztaljuk, hogy ezek a vonalak hurokszerűen körülveszik az áramokat, vagy legalábbis egy részüket, tehát az indukcióvonalak nemcsak zártak, hanem az áramokat meg is kerülik. Ezt a tapasztalati tényt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a mágneses mező örvényeit a vezetőben folyó áramok keltik.
     A mágneses mezőre vonatkozó örvényerősséget általános esetben az elektromos mező mintájára az

ÖB

szorzatösszeggel definiálhatjuk, ahol G a mágneses térben haladó tetszőleges zárt görbét jelent.
     A megállapítás számszerű leírásához vizsgáljuk azt a legegyszerűbb speciális elvi esetet, amikor egy végtelen hosszúnak tekintett egyenes vezetőben folyó áram és az általa létrehozott mező örvényerőssége közötti kapcsolatot szeretnénk meghatározni. Ehhez számítsuk ki az örvényerősséget egy indukcióvonalra, vagyis a vezetékre merőleges síkú, és azzal koncentrikus körvonalra! Ebben az esetben a szorzatösszegből az indukció abszolút értéke kiemelhető, hiszen a vezetéktől azonos távolságra minden irányban azonos nagyságú indukció keletkezik, így ebben az esetben az

ÖB

összefüggést kapjuk, hiszen az elemi ívhosszak összege éppen a körvonal hossza.

Egyenes vezető tere

Ugyanakkor mérések alapján tapasztalatból tudjuk, hogy a hosszú egyenes áramjárta vezető által keltett mágneses tér indukciójának nagysága egyenesen arányos a vezetőben folyó áram erősségével és fordítottan arányos a vezetőtől mért távolsággal:

.

A mágneses indukció ezen kifejezésének felhasználásával tehát az örvényerősség:

ÖB.

     Eszerint az indukcióvonalra számított örvényerősség egyenesen arányos az áramerősséggel, és a szereplő arányossági tényezőt vákuumpermeabilitásnak vagy mágneses vákuumállandónak nevezzük. A vákuum mágneses permeabilitásának értéke a mérések szerint .

     Előző megállapításaink szerint tehát a körvonal hosszának és az indukció nagyságának szorzata állandó, vagyis az örvényerősség független a mérőgörbe hosszától. A tapasztalat szerint a mérőgörbe alakjától is független, és csakis az általa körülhatárolt áram erősségétől függ. Zérus tehát az örvényerősség minden olyan görbére, amely nem vesz körül áramot.
     Előző megállapításainkat Maxwell általánosította, és kimondta, hogy bármilyen alakú vezetékekben folyó áram keltette mágneses mezőre általánosan is érvényes, hogy bármely zárt görbére számított örvényerősség értéke független a görbe alakjától és az általa körülvett áramok algebrai összegével arányos:

ÖB.

Az összefüggésben a G görbére feszített A felületet átdöfő áramok algebrai összege szerepel, amelyeket akkor tekintünk pozitívnak, ha az áram és a görbe irányítása jobbrendszert alkot.
     Ezt az összefüggést nevezzük Amper-féle gerjesztési törvénynek, mely egyben Maxwell IV. törvénye.

 

A Biot-Savart törvény

     A gerjesztési törvényben az áram által létrehozott mágneses mező szerkezetének olyan tulajdonságát fogalmaztuk meg, amely csak egy zárt görbe egészére számolt mágneses örvényerősségről tartalmaz általános megállapítást, és a mágneses indukció valamely adott pontban érvényes értékéről semmilyen információt nem ad. Célszerűnek látszik olyan összefüggést keresnünk, amely pontonként jellemzi az áram keltette mágneses tér indukcióját.
     Az erre vonatkozó kísérletek tapasztalatait Biot és Savart foglalták össze a róluk elnevezett Biot-Savart törvényben. Eszerint egy árammal átjárt vezeték elegendően rövid, vagyis egyenesnek tekinthető hosszúságú szakasza által a tőle r távolságra lévő P pontban keltett mágneses indukció nagysága egyenesen arányos az I áramerősséggel, a vezetékszakasz hosszával és az I és r által bezárt szög szinuszával, valamint fordítottan arányos az r távolság négyzetével:

,

illetve vektoriálisan:

.

Ebben a vektori szorzatban a vezetékelem vektora az áram irányába, míg a sugár vektora a vezetékelem középpontjából a vizsgált P pontba mutat.

Ívelem járuléka

 

Egyes speciális áramelrendezések mágneses mezeje

     A gerjesztési és a Biot-Savart törvény segítségével meghatározhatjuk néhány, a gyakorlat szempontjából fontos áramjárta vezető által keltett mágneses mező jellemzőit.
     Vizsgáljuk meg elsőként a már említett ideális, vagyis végtelen hosszúnak tekinthető áramjárta egyenes vezető által keltett mágneses mező tulajdonságait. A gerjesztési törvényből következően ezen vezető hengerszimmetrikus mágneses mezőt hoz létre, amelynek indukciója a vezetéktől R távolságban

nagyságú, és iránya merőleges a vezeték és a vizsgált pont közös síkjára.

Végtelen egyenes vezető tere

     A következőkben vizsgáljunk egy sűrűn csévélt, átmérőjéhez képest hosszú egyenes tekercset, amelyet a következőkben szolenoid tekercsnek is fogunk nevezni. A tekercs menetszáma legyen N, hossza l, keresztmetszetének területe pedig A, és tételezzük fel, hogy a benne folyó áram erőssége I. A keletkező mágneses mező indukcióvonalai a tekercs belsejében párhuzamosak a tekercs tengelyével, amiből az is következik, hogy a tekercsen belül a mező homogén.
     Az áramjárta hosszú egyenes tekercs belsejében kialakuló mágneses mező indukciójának nagysága tehát a tekercs belsejében állandó, és értékét a

összefüggéssel határozhatjuk meg. Ennek megfelelően az indukciófluxus, vagyis a tekercs által keltett indukcióvonalak száma

.

Tekercs mágneses tere

     Gyakorlati szempontból igen fontos az olyan tekercsnek a mágneses mezeje, amelynek két vége önmagához csatlakozik: ezt a tekercset körtekercsnek vagy gyakrabban toroid tekercsnek nevezik. A toroid tekercs keltette mágneses mező a tekercsen kívül zérus, a mező tehát teljes egészében a tekercs véges belső térfogatában keletkezik. Az örvényerősséget legegyszerűbben a körtekercs középkörén haladó indukcióvonala mentén határozhatjuk meg. Miután ezen indukcióvonal mentén az indukciófluxus állandó, B kiemelésével és figyelembevételével a gerjesztési törvény alapján a toroid középköre mentén a mágneses indukció nagysága:

.

     Végezetül határozzuk meg egy egyszerű körvezető középpontjában a mágneses indukció értékét! A vezetéket igen rövid szakaszokra felosztva, és figyelembe véve, hogy minden áramelem azonos R távolságra van a kör középpontjától, és a sugár minden áramelemnél merőleges a vezetékelemre, a Biot-Savart törvény alapján az adódó kiemeléseket elvégezve az áramjárta körvezető középpontjában a mágneses indukció nagyságára a következő összefüggés adódik:

,

és az indukcióvektor iránya a jobbkéz-szabálynak megfelelően merőleges a körvezető síkjára.

Körvezető tere

 

A mágneses térerősség

     A gerjesztési törvény a mágneses indukcióvektor és a mezőt gerjesztő áramok közötti kapcsolatot adja meg, és némiképpen egyszerűbben írható fel, ha bevezetjük a és a jelöléseket, a gerjesztési törvény vákuumban a következőképpen írható fel:

.

Az összefüggésben szereplő -val jelölt, a vezetési áramokra jellemző mennyiség a mágneses gerjesztés, a vektor pedig a mágneses térerősség vektora. A mágneses térerősség definíciójából az is következik, hogy ugyanazon pontban az indukcióvektor és a térerősségvektor iránya megegyezik. A mágneses térerősség egysége az .
     Eddigi vizsgálatainkban és a megállapított törvényszerűségekben mindig a vákuumban létrejött mágneses mező tulajdonságait és jellemzőit határoztuk meg. A kísérletek tanúsága szerint, ha a teljes mágneses mezőt nem vákuum, hanem valamely homogén izotrop anyag tölti ki, az ugyanazon áramelrendezés keltette indukció a vákuumbelihez képest növekszik, mégpedig a közeg anyagi minőségének függvényében, a vákuumban mért indukcióval egyenesen arányosan:

,

ahol a szereplő arányossági tényező az illető közegre jellemző relatív permeabilitás. Tapasztalat szerint a levegő és a vákuum relatív permeabilitása igen jó közelítéssel egyenlő, .

     Az indukció és a térerősség közötti kapcsolat általános esetben, tehát vákuumban, vagy ha a teljes teret homogén, izotrop dia-, para- vagy lágy ferromágneses anyag tölti ki:

,

ahol az illető anyag abszolút permeabilitása, vagy egyszerűen csak permeabilitása.
     A mágneses térerősséggel az előzőekben leírt áramkeltette mezők a következő összefüggésekkel írhatók le:

A Biot-Savart törvény:

,

illetve vektoriálisan:

.

A végtelen hosszú egyenes vezető:

.

Vékony, hosszú egyenes tekercs (szolenoid):

.

Körtekercs (toroid):

.

Végül körvezető középpontjában:

.

a mágneses térerősség nagysága.

 

Erőhatások a mágneses térben

A Lorentz-erő. Erőhatás párhuzamos áramjárta vezetők között

     Vizsgálódásaink kezdetén megállapítottuk, hogy a mágneses mezőt alapvetően a kísérleteink során tapasztalt erőhatások, illetve a magnetométerre ható forgatónyomaték alapján ismerhetjük fel és írhatjuk le. Azt is megállapítottuk, hogy a vezetőkeretre ható forgatónyomaték nagysága független a vezetőkeret alakjától, csak a közrefogott terület nagyságától függ.
     A nyomaték és az erőhatás számszerű vizsgálatához célszerűen válasszunk téglalap alakú vezetőkeretet. A vezetőkeretre ható forgatónyomaték felfogható úgy, mint a keret egyes vezetőszakaszaira ható nyomatékok eredője. Az indukcióvonalakkal párhuzamos vezetékszakaszokra nem hat erő, míg az egymástól l távolságra lévő, indukcióvonalakra merőleges vezetékszakaszokra ható erők erőpárt alkotnak. A vezetőkeretre ható maximális forgatónyomatékot ezen erőpárral és a mágneses indukcióval egyaránt kifejezve a felírt egyenlőségből az egyszerűsítés után az

összefüggés adódik.

Szavakban: A homogén, B indukciójú mágneses mező a benne lévő, indukcióvonalakra merőleges, I erősségű áram által átjárt vezető l hosszúságú szakaszára az I áramerősséggel és a vezetőszakasz l hosszúságával arányos erőt fejt ki, amely erő az indukcióvektorra és vezetőre merőleges. Ezt, a mágneses mező által kifejtett erőt Lorentz-erőnek is nevezik.
     Természetesen a Lorentz-erő meghatározható abban az általános esetben is, amikor a vezetőszakasz nem merőleges az indukcióra. Ekkor a már alkalmazott gondolatmenettel az indukcióvektort a vezetővel párhuzamos és merőleges komponensekre bontva, az

összefüggés adódik, ahol a vezető és az indukcióvektor által bezárt szög. Az összefüggésben szereplő vektormennyiségek irányait is meghatározó vektoregyenlet pedig a

vektori szorzattal adható meg.
     A most elmondottak és a Biot-Savart törvény együttes alkalmazása lehetővé teszi, hogy a legelső kísérletünkben említett, két párhuzamos áramjárta egyenes vezető között tapasztalt erőhatás nagyságát is meghatározzuk. Eszerint két párhuzamos árammal átjárt hosszú egyenes vezeték bármelyikének l hosszúságú szakaszára ható erő egyenesen arányos az áramok erősségével, a kiválasztott szakasz hosszával és fordítva arányos a köztük mért d távolsággal:

.

     Azonos irányú áramok esetén ez az erő vonzóerő, míg ellentétes irányú áramok esetén a vezetékek taszítják egymást. Érdemes megjegyezni, hogy ennek a megállapításnak kapcsán rögzítették a vákuum permeabilitásának pontos értékét, amely szerint .

     A következő fejezetben azt fogjuk vizsgálni, milyen jelenségek játszódnak le akkor, amikor a mágneses erőtér az időben változik, és milyen hatásokat fejt ki az időben állandó mágneses tér a benne meghatározott sebességgel mozgó töltésekre.

vissza