A méhek hatszöges viaszsejt építése

A méhek munkaidejében a méztartók készítése egybeesik a mézgyűjtéssel. Világos, hogy minél tovább tart az előbbi munka, annál kevesebb idő jut a mézgyűjtésre; a méz pedig számukra téli élelem. Tehát azt a problémát kell megoldaniuk, hogy milyen formájú edények készülnek a lehető legkevesebb anyagból, legkevesebb munkával minél több méz elraktározására.

1. A mennyiségtan szerint a gömbalakú edény a leggazdaságosabb, tehát a poszméh okosan választott, viszont a méh cserbenhagyta a matematikát, mert hatszögű sejteket készít. A poszméh azért választja az abszolút gazdaságos formát, mert egyedül él. A méh ellenben "vita communis perfecta" közösségében építi méztartó sejtjeit. A közösség időben és anyagban vesztene, mert a gömböket a nem lehet egymás mellé illeszteni, a tér kihasználatlansága nélkül. A méhek tulajdonképpen téli konzervet készítenek és ezért kis adagolású edényre van szükségük, nem pedig egy nagy gömbre, amelyben a felbontás után esetleg megromlana a táplálék.
A jól illeszthetőség szempontjából a henger és az ötoldalú hasáb figyelmen kívül hagyható. A három- és négyszögű hasábok inkább megfelelnének, mert két közfal helyett mindenütt csak egyet kell építeni. Viszont az anyagban való takarékosság céljából azon mennyiségtani tétel szerint, hogy egyenlő térfogat és magasság esetén a több lap zárta test előnyösebb, ezektől is el kell tekinteni. Így tehát a méh az összes testek közt a legelőnyösebben a hatszögű hasábot választotta.

Egy gramm viasz előállításához kb. 6-7 gramm mézet kell felhasználni. Ezért az ideális terület kitöltés az anyag- és energia-felhasználás szempontjából nagy jelentőséggel bír. A hexagonális szerkezet ezen kívül a maximális teherbírást is lehetővé teszi: a csupán 0.05 mm vastagságú falak által határolt cellák saját tömegük 25x-ösét is képesek tárolni.

Ezzel a sejtépítésnek csak a kisebb nehézsége van megoldva; sokkal nehezebb a sejtfenék és szögeinek megválasztása. Megértéséhez tudni kell, hogy a lép egymás mellé és fölé épített sejtek tömege. A két sejtréteg közös fenéklapjai a lépnek tartósságot, szilárdságot adnak. Az egyetlen szóba jöhető megoldás a három rombusszal való elzárás. Ehhez az alábbi feladatot kell megoldaniuk a méheknek:

"Adva van egy hatoldalú edény, amelynek alapja három rombuszlap. Milyen nagyoknak kell lenniük az alaplapok szögeinek, hogy a legkevesebb anyag felhasználásával a legnagyobb teret zárják be?" A megoldás az , hogy az edény a tompaszög 109 fok 28' 16" a hegyesszög 70 fok 31' 44" nagysága mellett felel meg a maximum-minimum törvény követelményeinek, melyet a méhek tökéletesen kiviteleznek. A diszkrét geometria jeles hazai képviselője, Fejes Tóth László akadémikus foglalkozik annak meghatározásával, hogy milyen dimenziók eredményezhetik az optimális elrendezést. Végleges megoldás még ugyan nem született, de azt már kimutatták, hogy a méhek által épített alakzat közel van az optimálishoz.

3. A méhek nem csak a sejtépítés szépségeivel nyűgözték le a számtan és geometria művelőit. Leonardo Fibonacci (1170-1250) olasz matematikus nevét a róla elnevezett számsorozat őrizte meg. Egy nyúl populáció szaporodásának törvényszerűségeit vizsgálva alkotta meg a 0, 1, 1, 2, 3. 5, 8, 13, 21, 34.......szekvenciát, ahol minden szám megegyezik az őt megelőző két szám összegével. Egy méh kolóniában csak a királynő rak tojásokat. Ha a tojásokat megtermékenyítik, dolgozók (munkásnők) kelnek ki, akik két szülőtől származnak. A hímek ezzel szemben parthenogenezissel (szűznemzés) szaporodnak, ezért csak egy szülővel rendelkeznek.